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折り紙とCGモデリングの話 その2

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コンピュータ上で3Dの形を扱う場合、ポリゴンメッシュと呼ばれる頂点と面の集合で表現することが一般的になっています。ゲームやアニメーションなど映像用途のモデリングでは、このポリゴンメッシュをマウスで直接編集して形をデザインします。

しかし、折り紙の形をモデリングする場合は同じ方法は使えません。紙の形には物理的な制約があるため、マウスで形を変えたりすればすぐに不可能な(現実にはありえない)形ができてしまいます。そのため、メッシュの頂点座標を数学的に計算して求めることが必要になります。

今日は下図の3ステップの折りたたみを例題として、折り紙の形と数学の関わりを簡単に紹介します。さて、3番目の図中の点Aの座標はどのように求めればよいでしょうか(原点はどこに置いてもOKです)。

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2番目の図を使って解説します。原点を左下にとると、1つ目の折り線は y=-x+1、2つ目の折り線は y=2x です。これを連立させると交点の座標が求まります。後は面の分割をしたり頂点の座標を更新したりすると折りたたんだ後の形が得られます。このように、折り紙の折る操作や折ってできる形は数学と深い関わりを持っているのです。

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今回紹介した折り方は、紙のフチを3等分するための折り方の一つとして知られています。なぜ解に1/3が現れるのかを考えてみましょう(ヒントは「相似」)。

メディア学部 鶴田直也

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