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新しい時を刻み始めよう

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みなさん、こんにちは、

 
2016年が始まりました。新しい時を刻み始めましょう。
今日は、簡単に時計をつくるお話です。
みなさんは、等比数列というのを聞いたことがあると思います。
比率を2とすると
1に2を掛けて2、2に2を掛けて4、4に2を掛けて8というように一定の倍率で変化していく数の列です。身近なところではピアノの鍵盤の音の振動数の変化がそうですね。ピアノの鍵盤は右に行くほど半音ずつ音が高くなっていきますが、これが一定の比率で振動数が変化していくのです。
さて、その比率として、次のような複素数を考えてみます。

One_complex_second

i は虚数単位、2πが360度にあたります。

これを比率とした等比数列 m を作ってみます。

45_complex_second

さて、どんな数列ができたのでしょうか?

 

この数列を横軸を実数、縦軸を虚数とする複素平面上に描画してみましょう。

S45_clock_needle

                    図1 複素数の等比数列の軌跡が円となる
 
数列のはじめは 1 です。右端の実数軸が 1、虚数の値がゼロの点が出発点です。その後の数列は、時計の針のように動いていくのです。45個目でちょうど12時の位置になります。60個目でちょうど、元の位置まで戻ってきます。
そう、sの値は実は 1 秒の針の動きに相当するのです。2π ラジアン(360度)を 60 等分した角度を表す複素数なのです。その絶対値は 1 で、このような値でつくられる等比数列は、時計の針のように、円の上を動いていくのです。
さて、 s の値に 1.01 を掛けて、複素数の絶対値をちょっと大きくします。そうすると時計の針はどうなるでしょう?次の図を見てください。

M5_clock_needle

                    図2 大きくなる時計

 

そうです。針の長さがだんだん長くなっていく時計になるのです。

みなさん、是非、この成長する時計のように、新年の新しい時を刻んでいってください!

 

相川 清明

 

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