円周率を求める: 東京工科大学メディア学部ブログ

円周率を求める

2016年6月22日 (水) 投稿者: メディア技術コース

みなさん、こんにちは、

ディジタル信号処理の基礎を学ぶ授業「メディア情報処理の基礎」の第4回目はフーリエ変換がテーマです。フーリエ変換は、時間とともに変化する信号に含まれる振動成分を求める方法です。このフーリエ変換は級数展開という数学の方法の１つです。では、級数展開とは何か？

例えば、変数 x に関する指数関数は以下のように x の1乗やｘの2乗の和で表されるのです。この種の級数展開はべき級数展開と呼ばれます。フーリエ変換は、これとは少し異なる直行関数展開という三角関数の sin や cos で展開する方法に基づいています。

Photo_2

このべき級数展開を使って円周率を計算することができるのです。今日はその方法をご紹介しましょう。

みなさんはtan（タンジェント）という関数はご存じですね？

Tan_2 Tan

tanはと角度 θ から横 x と縦 y の比率を求める関数です。

この関数の「逆関数」としてarctan（アークタンジェント）というものがあります。横 x と縦 y の比率から角度 θ を求める関数です。この関数もべき級数展開が可能で、次の式のように表されます。

Arctan_2

横xと縦yの比率が1の時、角度は45度であることはみなさん良くしっていますね？この展開式では角度はラジアンなので、45度はπの4分の1です。

そうすると、展開式はつぎのようになります。

Arctan1_2

おや？πが計算できそうですね！しかも、分数の分母の値はみなさんおなじみの単なる奇数 1, 3, 5, 7, 9, …です。

信号処理ソフトScilab を使うと次のように計算ができます。

これを計算すると、結果として、

3.1413927

が表示されます。どうですか？本当の円周率の値に近い値が求まりましたね。みなさんにも円周率の計算ができました。この図では繰り返しの回数は10000回ですが、もっと増やせば、もっと本当の円周率に近づきますよ。

相川　清明