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円周率を求める

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みなさん、こんにちは、

 
ディジタル信号処理の基礎を学ぶ授業「メディア情報処理の基礎」の第4回目はフーリエ変換がテーマです。フーリエ変換は、時間とともに変化する信号に含まれる振動成分を求める方法です。このフーリエ変換は級数展開という数学の方法の1つです。では、級数展開とは何か?
例えば、変数 x に関する指数関数は以下のように x の1乗や x の2乗の和で表されるのです。この種の級数展開はべき級数展開と呼ばれます。フーリエ変換は、これとは少し異なる直行関数展開という三角関数の sin や cos で展開する方法に基づいています。

Photo_2

このべき級数展開を使って円周率を計算することができるのです。今日はその方法をご紹介しましょう。
 
みなさんはtan(タンジェント)という関数はご存じですね?

Tan_2Tan

tanはと角度 θ から横 x と縦 y の比率を求める関数です。

この関数の「逆関数」としてarctan(アークタンジェント)というものがあります。横 x と縦 y の比率から角度 θ を求める関数です。この関数もべき級数展開が可能で、次の式のように表されます。

Arctan_2

横xと縦yの比率が1の時、角度は45度であることはみなさん良くしっていますね?この展開式では角度はラジアンなので、45度はπの4分の1です。

そうすると、展開式はつぎのようになります。

Arctan1_2

おや?πが計算できそうですね!しかも、分数の分母の値はみなさんおなじみの単なる奇数 1, 3, 5, 7, 9, …です。

信号処理ソフトScilab を使うと次のように計算ができます。

Scilab

これを計算すると、結果として、

3.1413927

が表示されます。どうですか?本当の円周率の値に近い値が求まりましたね。みなさんにも円周率の計算ができました。この図では繰り返しの回数は10000回ですが、もっと増やせば、もっと本当の円周率に近づきますよ。

 

相川 清明

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