東京工科大学 メディア学部 ブログ

まず、次の図のような一辺が1の正方形領域と、それに内接する四分円（四分の一の円）を考えます。

このとき、正方形の面積は 1×1 = 1 であり、四分円の面積は π×1×1×1/4 = π/4 であることがわかります。この正方形に内部に、ランダムに1点を打ったとき、その点が四分円の中に入る確率はいくつになるでしょうか？

確率は （起こりうる事象） / （全事象） で表されるため、点が正方形の中の四分円に入る確率は、 （四分円の面積） / （正方形の面積） = π/4 となります。すなわち、ランダムに何度も点を打っていけば、その確率は π/4 という数値に近似していき、それを4倍することで円周率を求めることができるというわけです。

実際に、0以上１未満の乱数を使って、100個の点を打ち込んでみると、以下のようになりました。赤い点が四分円の内部、青い点が外部であることを表しています。

100個中79個が四分円の中に入っていたため、確率は 79/100 = 0.79 となり、円周率は 4×0.79 = 3.16 となりました。それらしい値になっています。

1000個の点を打ち込むと、以下のようになりました。788個が四分円の中に入ったため、円周率は 3.152 と計算されます。

10000個の点を打ち込むと、以下のようになりました。7855個が四分円の中に入ったため、円周率は 3.142 と計算されます。

10000000個の点を打ち込むと、以下のようになりました。7853434個が四分円の中に入ったため、円周率は 3.1413736 と計算されます。

点の数を増やせば増やすほど、円周率の値に近づいていくことがわかります。しかし、1千万個の点を打っても、正しく求められているのは「3.141」までです。乱数を使った円周率の求め方は、考え方は簡単な一方で、収束が非常に遅い（そして不安定）というデメリットを持つため、残念ながらあまり実用的ではありません。しかし、こんな風に円周率が求まるなんて、興味深いですよね。

ちなみに、このような乱数を使った計算方法は、モンテカルロ法と呼ばれます。モンテカルロ法で円周率を求める方法は他にも存在しますので、またの機会にご紹介できればと思います。

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